0: Teckenregeln
Den vanligaste teckenregeln vid analys av balkar, pelare och stänger
Positiv påverkan
Interaktiv version av föreläsning F0
F0Byggmek1
Sammanfattning
- Rätlinjigt, högernormerat koordinatsystem med tre vinkelräta axlar x, y och z.
- x är balkens längdriktning, y och z är tvärsnittsaxlarna.
- x-axeln går genom tvärsnittets geometriska centrum (tyngdpunkt).
- Normalen pekar alltid vinkelrätt utåt från en verklig eller tänkt yta.
- Normalen till en positiv snittyta (⊕) pekar i x-axelns positiva riktning, till en negativ (⊖) i den negativa.
- På en ⊕-yta är spänningar och snittkrafter positiva om de verkar i axlarnas positiva riktning, och moment positiva om de vrider i axelns positiva rotationsriktning.
- På en ⊖-yta är allt positivt om det verkar i axlarnas negativa riktning/rotationsriktning.
Figuren visar idel positiva snittkrafter och -moment. Spänningar riktade åt samma håll som kraftpilarna är också positiva.
Ta den mellersta biten mellan dina händer. Dra, böj, vrid och skjuva den så känner du hur naturlig teckenregeln är.
F0Byggmek2
Högernormerat koordinatsystem
Det vanligaste koordinatsystemet
- har tre vinkelräta axlar x, y och z med linjär skalning,
- är högernormerat – jämför högerhandens tumme, pekfinger och långfinger,
- passar utmärkt för balkar, pelare och stänger,
- kallas ofta kartesiskt efter René Descartes (Cartesius), som dog 1650 på Stockholms slott.
Positiv rotation vrider medurs om man tittar i axelns positiva riktning.
- y förs mot z ger positiv x-rotation
- z förs mot x ger positiv y-rotation
- x förs mot y ger positiv z-rotation
Dra för att rotera
Förklara positiv rotation – titta längs
+ = längs normalen till en ⊕-yta, − = längs normalen till en ⊖-yta
Välj en rotation för att se hur axlarna förs mot varandra.
F0Byggmek3
Positiv och negativ tvärsnittsyta
Vanligen sammanfaller x-axeln med balkens längsgående tyngdpunktsaxel, och y och z är tvärsnittsaxlar.
- Det tänkta (hypotetiska) snittet är vinkelrätt mot x-axeln.
- Snittet delar balken så att två ytor kan betraktas – en positiv och en negativ.
- Normalvektorn n pekar alltid vinkelrätt utåt från ytan.
- ⊕-yta: n = (1, 0, 0)T, i x-axelns positiva riktning.
- ⊖-yta: n = (−1, 0, 0)T, i x-axelns negativa riktning.
Ibland används z som balkens längdaxel – då är x och y tvärsnittsaxlar.
F0Byggmek4
Snittlabbet
Klipp balken, välj snittstorheter och se hur de verkar på ⊕- och ⊖-ytan. Dra i bilden för att vrida, scrolla för att zooma.
Läge
Snittstorheter
Visa
Moment som
F0Byggmek5
Positiv normalkraft (normalspänning)
- En positiv normalkraft är en dragkraft.
- En negativ normalkraft är en tryckkraft.
- På en ⊕-yta är N positiv om den verkar i x-axelns positiva riktning.
- På en ⊖-yta är N positiv om den verkar i x-axelns negativa riktning.
- Mellan två motstående snittytor gäller aktion och reaktion (Newton 1687).
- En positiv normalkraft drar i den utskurna balkstumpen – det känns naturligt.
F0Byggmek6
Positiv tvärkraft (skjuvspänning)
- På en ⊕-yta är tvärkraften Vz positiv om den verkar i z-axelns positiva riktning (nedåt i figuren).
- På en ⊖-yta är Vz positiv om den verkar i z-axelns negativa riktning (uppåt).
- Samma regel gäller Vy i y-led.
- Mellan två motstående snittytor gäller aktion och reaktion.
- Lägg balkbiten mellan handflatorna och skjuva – positiv tvärkraft känns naturlig.
F0Byggmek7
Positivt böjmoment
- På en ⊕-yta är My positivt om det vrider tvärsnittet i y-axelns positiva rotationsriktning.
- På en ⊖-yta är My positivt om det vrider i y-axelns negativa rotationsriktning.
- Positivt My ger drag i underkanten (z > 0) – balken ler.
- Mellan två motstående snittytor gäller aktion och reaktion.
- Böj ett radergummi eller en plastlinjal mellan händerna – det känns naturligt.
I 2D ritas en momentvektor som en dubbelhövdad pil. Den är alltid högervridande (medurs) om man tittar i pilens riktning.
y pekar mot dig (⊙), så positiv y-rotation ser moturs ut i sidovyn.
F0Byggmek8
Positivt vridmoment
- På en ⊕-yta är vridmomentet T positivt om det vrider tvärsnittet i x-axelns positiva rotationsriktning.
- På en ⊖-yta är T positivt om det vrider i x-axelns negativa rotationsriktning.
- Som dubbelpil: positivt T pekar ut från ytan, precis som en positiv normalkraft.
- Mellan två motstående snittytor gäller aktion och reaktion.
- Greppa linjalens ändar och vrid den som en skruv (böj inte).
I 2D ritas ett vridmoment som en dubbelhövdad pil. Den är alltid högervridande (medurs) om man tittar i pilens riktning.
F0Byggmek9
Snittkrafternas verkningslinjer
För att klassisk balkteori ska fungera enklast krävs för dubbelsymmetriska tvärsnitt att:
- x-axeln går genom tvärsnittets geometriska centrum (tyngdpunkt, TP).
- Normalkraftens verkningslinje sammanfaller med x-axeln – annars ger den också böjning.
- Tvärkrafternas verkningslinjer sammanfaller med y- resp. z-axeln – annars vrids balken.
- Böj- och vridmoment har ingen angreppspunkt. De har bara en böjande resp. vridande verkan och kan ritas var som helst på tvärsnittet.
Om yttre lastens verkningslinje inte går genom axlarna
- ger en excentrisk normalkraft ett böjmoment, och
- ger en excentrisk tvärlast ett vridmoment.
Alla sex snittstorheter
- N – normalkraft längs x
- Vy, Vz – tvärkrafter längs y och z
- My, Mz – böjmoment kring y och z
- T – vridmoment kring x
F0Byggmek10
Testa dig själv
F0Byggmek11